Question

x₁，x₂，x₃，…，x₁₀₀是自然数，且x₁＜x₂＜x₃＜…x₁₀₀，若x₁+x₂+…+x₁₀₀=7001，那么x₁+x₂+…+x₅₀的最大值是（　　）

• A、2225
• B、2226
• C、2227
• D、2228

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：因为x₁+x₂+…+x₅₀≤50×x₅₀-（1+2+3+…+49）=50x₅₀-1225，要使和最大，则要x₅₁+x₅₂+…+x₁₀₀尽量小，则x₅₁+x₅₂+…+x₁₀₀≥50×x₅₀+（1+2+3+…+50）=50×x₅₀+1275，由此根据x₁+x₂+…+x₁₀₀=7001分析探讨得出得出答案即可．

解答：解：∵x₁，x₂，x₃，…，x₁₀₀是自然数，且x₁＜x₂＜x₃＜…x₁₀₀，
∴x₁+x₂+…+x₅₀≤50×x₅₀-（1+2+3+…+49）=50x₅₀-1225，x₅₁+x₅₂+…+x₁₀₀≥50×x₅₀+（1+2+3+…+50）=50×x₅₀+1275，
∴x₁+x₂+…+x₁₀₀=50x₅₀-1225+50×x₅₀+1275=7001，
解得x₅₀=69.5，由于x₅₀取整，
①若x₅₀=70，则x₁～x₁₀₀为21～120个数，其和7050比7001多49，只能从前面49个数中每个数减去1，所以前50个数的最大值为50×70-1225-49=2226；
②若x₅₀=69，则x₁～x₁₀₀为20～119个数，其和6950比7001少51，只能从后面51个数中每个数加上1，所以前50个数的最大值为50×69-1225+1=2226．
所以x₁+x₂+…+x₅₀的最大值为2226．
故选：B．

点评：此题考查整数的排列规律，以及求整数和的最值问题，注意利用极端考虑问题的方法解决问题．