Question

如图1，已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于M、D点．
（1）求线段DC的长度；
（2）如图2，连接CM，作∠ACB的平分线交DM于N．求证：CM=MN．

Answer 1

（1）如图，连接BD，∵MD是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
设DC=x，则BD=AD=4-x，
在△ABC中，AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，DC²+BC²=BD²，
即x²+3²=（4-x）²，
解得x=

7

8

，
即DC的长为

7

8

；

（2）证明：∵M为AB的中点，△ABC是直角三角形，
∴BM=MC，
∴∠B=∠BCM，
∵CN是∠ACB的平分线，
∴∠BCN=45°，
∴∠B=45°+∠1，
在四边形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°=360°，
∴∠MDC+∠B=180°，
在△CDN中，∠MDC+45°+∠2=180°，
∴∠MDC=135°-∠2，
∴135°-∠2+45°+∠1=180°，
∴∠1=∠2，
∴CM=MN．