解:(1)∵a≠0,abc=0,
∴bc=0
当b=0时:
由
,
得
,
解得
.
或
∵a<b<c.
∴
(不合题意,舍去)
∴a=-1,b=0,c=4
<2>当c=0时
由
,
得
解之得
.
或
,
∵a<b<c;
∴
和
,都不合题意,舍去.
∴所求的抛物线解析式为y=-x
2+4.
(2)①在y=-x
2+4中,当y=0时,x=±2;当x=0时,y=4.
∴A、B、C三点的坐标分别为(-2,0),(2,0),(0,4)
过P作PG⊥x轴于G,
设点P坐标为(m,n)
∵点P是这条抛物线上第一象限内的点
∴m>0,n>0,n=-m
2+4
∴PG=-m
2+4,OA=2,AG=m+2
∵OD∥PG,OD=1.5
∴
=
即
=
解得m
1=
,m
2=-2(不合题意,舍去)
∴OG=
又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S
△PDC=
•CD•OG=
×
×
=
S
△AOD=
•OA•OD=
×
×2=
=
∴S
△PDC>S
△AOD又∵S
△APC=S
△PDC+S
△ADC,S
△AOC=S
△AOD+S
△ADC
∴S
△APC>S
△AOC②分两种情况讨论:
在第一象限内,设在抛物线上存在点Pn(m,n),使得S
△APnC=S
△AOC.
过Pn作PnM⊥x轴于点M,
则m>0,n>0,n=-m
2+4
OM=m,PnM=-m
2+4,OA=2,AM=m+2
设APn交y轴于点Dn,设ODn=t
∵ODn∥PnM,
∴
=
即
化简为mt+2t=8-2m
2,DnC=OC-ODn=4-t
S
△AODn=
OA•ODn=
×2×t=t;
S
△PnCDn=
CDn•OM=
(4-t)×m;
∵S
△AOC=S
△APnC
∴S
△AODn=S
△PnCDn即t=
(4-t)×m,mt+2t=4m
将mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m
2中有8-2m
2=4m
整理得m
2+2m-4=0,m
1=
-1,m
2=-1-
∵m>0,
∴m
2=-1-
(不合题意,舍去)
∴m=
-1,
此时n=-m
2+4=-(
-1)
2+4=2
-2
∴存在点Pn坐标为(
-1,2
-2),
使得S
△APnC=S
△AOC在第二象限内,这条抛物线上任取一点Pnn,连接PnnA,PnnC,分别过点A作直线l
1垂直x轴,过点C作直线l
2垂直于y轴,l
1与l
2相交于Q点,则四边形QAOC是矩形,S
△AQC=S
△AOC.
设Pnn点坐标为(mn,nn)
则有-2<mn<0
∵nn=-m
n2+4
∴0<nn<4
∴点Pn
n在矩形QAOC内,又易知Pnn在△AQC内
∴S
△APnC<S
△AQC,S
△APnC<S
△AOC
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点Pnn,使S
△APnC=S
△AOC.
分析:(1)已知了四个条件:abc=0 ①;a+b+c=3②;ab+bc+ca=-3③;a<b<c④.
根据①可知b=0或c=0(a≠0),那么本题可分两种情况进行讨论:
一:当b=0,可联立②③,求出a,c的值,然后根据④判断出符合条件的a,c的值,进而可求出抛物线的解析式.
二:当c=0时,方法同一.
综合两种情况可得出抛物线的解析式.
(2)①比较S
△APC和S
△AOC的大小实际就是比较△DPC和△AOD的面积.
△AOD中,根据OA,OD的长,可求出△AOD的面积.
△DPC中,可以CD为底边,P点的纵坐标为高,
过P作PG⊥x轴于G,OG就是△DPC的高.
可根据相似三角形ADO和APG,得出关于OD,PG,OA,OG的比例关系式.
设出P点的坐标,即可根据所得的比例关系式求出P点的坐标,从而可求出△DPC的面积.
然后比较△DPC和△AOD的面积即可得出S
△APC和S
△AOC的大小.
②本题要分两种情况进行讨论:
当P点在第一象限时,解法同①,只不过要设出P点的坐标和OD的长,其他解法基本一样,只是最后不是比较大小,而是得出一个等量关系.根据这个等量关系来求P点的坐标.
可分别过C,A作坐标轴的平行线,可得出一个矩形,设两条平行线的交点为Q,那么△AQC与△AOC的面积相等,而P在△ACQ内,因此△ACP的面积总小于△ACQ的面积.因此△ACP的面积不会和△ACO的面积相等.此种情况不成立.
点评:本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的综合应用,由于题中的数据较多,计算过程较复杂,因此细心求解是解题的关键.