Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中， 是边长为的等边三角形，直线与轴、、分别交于点、、． ，过点作，交于点．

（）点的坐标为__________．（结果保留根号）

（）求证：点、关于轴对称．

（）若，求直线对应的函数表达式．

Answer 1

【答案】（）．（）证明见解析．（）

【解析】试题分析：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据等边三角形的性质可知：AO=3，∠AOM=60°，在Rt△AMO中利用30°角的对边为斜边的一半结合勾股定理可求出AM、OM的长，从而得出点A的坐标；

（2）由EF∥OA利用平行线的性质可得出∠BFE=∠BOA=60°，结合∠OBA=60°可得出△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出BE=BF可得出BE=BF、BO=BA，进而即可得出AE=OF，再由OC=AE即可得出OC=OF，从而证出点C、F关于y轴对称；

（3）设OC=OF=x，根据边与边的关系找出∠OCD=∠ODC，再根据平行线的性质即可得出∠CEF=∠CDO=∠ECF，进而可得出CF=EF，由此即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值，进而可得出点C、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线l对应的函数表达式．

试题解析：解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，如图1所示．

∵△A0B是边长为3的等边三角形，∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60°．

在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60°，∴∠OAM=30°，∴OM=OA=，AM==，∴点A的坐标为（， ）．

（2）证明：若证C、F关于y轴对称，只需证OC=OF即可．

∵EF∥OA，∴∠BFE=∠BOA=60°，∵∠OBA=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF．

∵△AOB是等边三角形，∴BO=BA，∴AE=AB﹣BE=OB﹣BE=OF，又∵0C=AE，∴OC=OF，∴点C、F关于y轴对称．

（3）设OC=OF=x，∵OB=3，∴BF=EF=3﹣x，∵AD=EF，∴AD=3﹣x．

∵OA=3，∴OD=x，∴∠OCD=∠ODC．

∵OA∥EF，∴∠CEF=∠CDO=∠ECF，∴EF=CF，即3﹣x=2x，解得：x=1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（， ）．

设直线l对应的函数表达式为y=kx+b，将点C（﹣1，0）、点D（， ）代入直线l对应的函数表达式中，得，解得： ．

故直线l对应的函数表达式为．