Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16cm，BC=12cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为t-2cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm²），直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．
（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以6cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，在点P的整个运动过程中，请你求出点H落在线段CD上时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间即可解决．
（2）分两种情形讨论①点N与D重合时，②点N落在线段DB上时分别求解即可．
（3）分5种情形讨论即可：①当0≤t≤2时，如图2中，②当2＜t≤8时，如图3中，S=S_{正方形PQMN}-S_△DNK③当8＜t≤10时，④当10＜t≤$\frac{76}{7}$时，如图4中，S=PC²，
⑤当$\frac{76}{7}$＜t≤16时，S=S_{正方形MNPQ}-S_△NKH分别求解即可．
（4）有4次相遇，分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=16，BC=12，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=20，
∵点D为AB中点，
∴AD=10，
∴点P在AD段的运动时间为$\frac{10}{5}$=2s；
∴当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1，
∴DP=（t-2）cm；
故答案为t-2．
（2）如图1中，点N与D重合时，∵PQ=EC=PN=6，
∴点P运动时间t=2+6=8秒，
点N落在线段DB上时，设P′N′=x，
∵P′N′∥AC，
∴$\frac{P′N′}{AC}$=$\frac{BP′}{BC}$，
∴$\frac{x}{16}$=$\frac{12-x}{12}$，
∴x=$\frac{48}{7}$，
∴P′E=$\frac{6}{7}$，
∴点P运动时间t=2+8+$\frac{6}{7}$=$\frac{76}{7}$秒．

（3）如图2中，①当0≤t≤2时，∵KM∥PQ，
∴$\frac{KM}{PQ}$=$\frac{AM}{AQ}$，
∴$\frac{KM}{3t}$=$\frac{t}{4t}$，
∴KM=$\frac{3}{4}$t，
∴S=S_△APQ-S_△AKM=$\frac{1}{2}$•4t•3t-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{4}$t=$\frac{45}{8}$t²．
②当2＜t≤8时，如图3中，
S=S_{正方形PQMN}-S_△DNK=36-$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{4}$t）•[6-（t-2）]=-$\frac{3}{8}$t²+6t+12．
③当8＜t≤10时，S=36，
④当10＜t≤$\frac{76}{7}$时，如图4中，S=PC²=[6+（t-10）]²=t²-8t+16．
⑤当$\frac{76}{7}$＜t≤16时，如图5中，
∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{PH}{16}$=$\frac{6-（t-10）}{12}$，
∴PH=$\frac{4}{3}$（16-t），
∴NH=（6+（t-10）-$\frac{4}{3}$（16-t）=$\frac{7}{3}$t-$\frac{76}{3}$，
∴NK=$\frac{3}{4}$NH=$\frac{7}{4}$t-19，
∴S=S_{正方形MNPQ}-S_△NKH=（t-4）²-$\frac{1}{2}$•（$\frac{7}{4}$t-19）（$\frac{7}{3}$t-$\frac{76}{3}$）=-$\frac{25}{24}$t²+$\frac{109}{7}$t-$\frac{674}{7}$．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{45}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+^t+12}&{（2＜t≤8）}\\{36}&{（8＜t≤10）}\\{{t}^{2}-8t+16}&{（10＜t≤\frac{76}{7}）}\\{-\frac{25}{24}{t}^{2}+\frac{109}{7}t-\frac{674}{7}}&{（\frac{76}{7}＜t≤16）}\end{array}\right.$．
（4）第一次相遇由题意：$\frac{6（t-8）}{8-（t-8）}=\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{80}{9}$，
第二次相遇由题意：$\frac{6（t-8）-6}{t-8}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{64}{7}$．
第三次相遇由题意：$\frac{6（t-8）-12}{t-4}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{76}{7}$．
第四次相遇由题意：$\frac{t-4-[6（t-8）12-（t-4）]}{t-4}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{220}{19}$．
∴点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的值为$\frac{80}{9}$秒或$\frac{64}{7}$秒或$\frac{76}{7}$秒或$\frac{220}{19}$秒．

点评 本题考查相似综合题、正方形的性质、相似三角形的性质平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确画出图形，确定自变量的取值范围，本题计算量大，比较难，属于中考压轴题．