Question

（2006•烟台）如图，在某气象站M附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M的东偏南θ方向100千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cosθ=，问：
（1）台风中心几小时移到气象站M正南N处，此时气象站M是否受台风侵袭？
（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

Answer 1

【答案】分析：（1）延长MN交PQ于点A，用三角函数的定义可求出AM的长，由于∠APN=45°，故AN=AP=10．MN=70-10=60，PN=10=20．根据路程，速度，时间的关系即可求解．
（2）设经t小时后该气象站开始受台风侵袭，且此时台风中心为B处，连接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分别为Q，D，则PB=20t，BM=20+10t．用三角函数的定义用含t的代数式分别表示BD、MD，再在直角三角形BDM中运用勾股定理即可求出t的值．
解答：解：（1）延长MN交PQ于点A．
在Rt△MPA中，∵∠MPA=θ，MP=100，
∴AP=MP•cosθ=100×=10，
AM===70．
∵∠APN=45°，∠NAP=90°，
∴∠APN=∠ANP=45°，
∴AN=AP=10．
∴MN=AM-AN=70-10=60．
PN=AN=10=20．
∴t=20÷20=1．
台风半径r=20+10×1=30＜60．
答：台风中心1小时移动到气象站M正南N处，此时气象站M不受台风侵袭．

（2）设经t小时后该气象站开始受台风侵袭，且此时台风中心为B处．
连接BM，作BQ⊥PQ，BD⊥AM，垂足分别为Q，D．
由题意知，PB=20t，BM=20+10t．
PQ=BQ=PB•sin45°=10t．
∴BD=QP-AP=10t-10，MD=AM-BQ=70-10t．
由BD²+DM²=BM²，得（10t-10）²+（70-10t）²=（20+10t）²．
整理，得t²-12t+32=0，
解得t₁=4，t₂=8（不合题意，舍去）．
答：4小时后该气象站开始受台风侵袭．
点评：本题是一道生活联系实际的题目，在解答此类题目时要注意构造出直角三角形，把一般三角形的计算转化为解直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．