Question

13．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=$\sqrt{5}$，CD=2．
（1）求DE的长；   
（2）求证：DA•DC=DE•DB；
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到结论．
（2）根据两角对应相等，两三角形相似，得到相似三角形，列比例式即可求出结果．
（3）首先由三角形相似列比例式求得AB，BC，根据锐角三角函数的定义即可得到答案．

解答 解：（1）∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
由CE=$\sqrt{5}$，CD=2，
∴DE=$\sqrt{{CE}^{2}{-CD}^{2}}$=1；

（2）∵D是弧AC的中点，
∴∠ACD=∠DBC，AD=CD，
∵∠BDC=∠BDC，
∴△BDC∽△CDE，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴DA•DC=DE•DB；

（3）∵△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
设AE=x，
∵AB²+AC²=BC²，
∴${（x+\sqrt{5}）}^{2}$+（2x）²=${（2\sqrt{5}）}^{2}$，
解得：x=$\frac{-2\sqrt{5}±8\sqrt{5}}{10}$，∵x＞0，
∴x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2x=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理圆周角定理，找相似三角形是解题的关键．