Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，联结OD，作BE∥OD交⊙O于点E，联结DE并延长交BN于点C．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OE，先证出△AOD≌△EOD，再结合AM是⊙O的切线，切点为A得到∠OAD=∠OED=90°，即可得DC是⊙O的切线；
（2）过点D作BC的垂线，垂足为H．得到四边形ABHD是矩形，AD=BH=1，AB=DH，CH=BC-BH=4-1=3，DC=DE+CE=1+4=5，再由勾股定理可得AB=4．

解答：解：（1）证明：连接OE，

在⊙O中，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD
∵在△AOD和△EOD中，

OA=OE ∠AOD=∠EOD OD=OD

∴△AOD≌△EOD．
∴∠OAD=∠OED．
∵AM是⊙O的切线，切点为A，
∴BA⊥AM，
∴∠OAD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）过点D作BC的垂线，垂足为H．
∵BN切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD．
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，
AB=DH 
∴CH=BC-BH=4-1=3
∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，
∴AD=ED=1．
BC=CE=4，
∴DC=DE+CE=1+4=5
在Rt△DHC中，DC²=DH²+CH²，
∴AB=DH=

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=4．

点评：本题主要考查了切线的性质与判定以及矩形的判定与性质、勾股定理，本题关键是作出辅助线．