【题目】如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.
小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.
请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:
(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.
①∠BEP= °;
②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 .
(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.
(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.
【答案】(1)①50°;②AB∥EC;(2)详见解析;(3)3.
【解析】
(1)①根据∠BPE=80°,PB=PE即可求出答案;②根据“AB=AC,∠BAC=100°”,可以得到AE垂直平分线段BC,从而得到EB=EC,进而得到∠ECB=∠EBC,即可证得∠ABC=∠ECB,从而得到答案;
(2)以P为圆心,PB为半径作⊙P,得到PB=PC,再根据同弧所对的圆周角是圆心的一半求出∠BCE的度数从而得到答案;
(3)作AH⊥CE于H,点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,当点P运动到与点A重合时,AE取最小值,故而得到答案.
解:(1)①如图②中,
∵∠BPE=80°,PB=PE,
∴∠PEB=∠PBE=50°,
②结论:AB∥EC.
理由:∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°﹣50°=40°,
∵AE垂直平分线段BC,
∴EB=EC,
∴∠ECB=∠EBC=40°,
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ABC=∠ECB,
∴AB∥EC.
故答案为50,AB∥EC.
(2)如图③中,以P为圆心,PB为半径作⊙P.
∵AD垂直平分线段BC,
∴PB=PC,
∴∠BCE=∠BPE=40°,
∵∠ABC=40°,
∴AB∥EC.
(3)如图④中,作AH⊥CE于H,
∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,
∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值=AB=3.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠D=60°,点M在线段AD上,DM= ,AM=2,点E从点D出发,沿着D-C-B-A匀速运动,速度为每秒2个单位长度,达到A点后停止运动,设△MDE的面积为y,点E运动的时间为t(s),y与t的部分函数关系如图②所示.
(1)如图①中,DC=_____,如图②中,m=_______,n=_____.
(2)在E点运动过程中,将平行四边形沿ME所在直线折叠,则t为何值时,折叠后顶点D的对应点D′落在平行四边形的一边上.
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【题目】一个不透明的袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,求n的值;
(2)在该不透明袋子中同时摸出两个球,求摸出的两个球颜色不同的概率.(要求列表或画树状图)
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【题目】为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大.
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【题目】射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 平均成绩 | 中位数 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 | 9 | ① |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | ② | 9.5 |
(1)完成表中填空① ;② ;
(2)请计算甲六次测试成绩的方差;
(3)若乙六次测试成绩方差为,你认为推荐谁参加比赛更合适,请说明理由.
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【题目】如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E、F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由;
(2)在运动过程中,不论t取何值,总有EF⊥OA,为什么?
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△AEB与△OEF相似?
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【题目】某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查表明,当租金为每辆每日200元时可全部租出,当租金每提高10元,租出去的车就减少2辆.
(1)当租金提高多少元时,公司的每日收益可达到10120元?
(2)公司领导希望日收益达到10200元,你认为能否实现?若能,求出此时的租金,若不能,请说明理由.
(3)汽车日常维护要一定费用,已知外租车辆每日维护费为100元,未租出的车辆维护费为50元,当租金为多少元时,公司的利润恰好为5500元?(利润=收益一维护费).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的对称轴为,且经过点A(2,1),点是抛物线上的动点,的横坐标为,过点作轴,垂足为,交于点,点关于直线的对称点为,连接,,过点A作AE⊥x轴,垂足为E.则当( )时,的周长最小.
A.1B.1.5C.2D.2.5
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________.
(2)点D坐标为,连接CD,判断直线CD与⊙M的位置关系并说明理由.
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