【题目】一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示.
图1 图2
(1)你认为这个零件符合要求吗?为什么?
(2)求这个零件的面积.
【答案】(1)这个零件符合要求.理由见解析;(2)36
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理,判断出△ABD、△BDC的形状,从而判断这个零件是否符合要求;(2)这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积,再根据三角形面积公式即可求解.
解:(1)∵AD=4,AB=3,BD=5,DC=13,BC=12,
∴AB2+AD2=BD2,
BD2+BC2=DC2,
∴△ABD、△BDC是直角三角形,
∴∠A=90°,∠DBC=90°,
故这个零件符合要求.
(2)这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36.
故这个零件的面积是36.
“点睛”本题考查了勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
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【题目】在以点O为原点的平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴,轴的正半轴上,现将正方形OABC绕点О顺时针旋转,当点A第一次落在直线上时,停止转动,旋转过程中,AB边交直线于点M,BC边交轴于点N.
(1)旋转停止时正方形旋转的度数是_________.
(2)在旋转过程中,当MN和AC平行时,
①与是否全等?此时正方形OABC旋转的度数是多少?
②直接写出的周长的值,并判断这个值在正方形OABC的旋转过程中是否发生变化.
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【题目】如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是( )
A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形
C. 当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形
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【题目】如图,在中,点是边上一个动点,过点作直线,设交的平分线于点,交的外角的平分线于点.
(1)探究与的数量关系并加以证明.
(2)连接,当点在边上运动时,四边形可能为菱形吗?若可能,请证明;若不可能,请说明理由.
(3)连接,当点在上运动到什么位置时,四边形是矩形?请说明理由.
(4)在(3)的条件下,满足什么条件时,四边形是正方形?请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B>90°,CD为∠ACB的角平分线,在AC边上取点E,使DE=DB,且∠AED>90°.若∠A=α,∠ACB=β,则( )
A.∠AED=180°﹣α﹣βB.∠AED=180°﹣α﹣β
C.∠AED=90°﹣α+βD.∠AED=90°+α+β
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【题目】解决下列两个问题:
(1)如图1,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.EF垂直且平分BC.点P在直线EF上,直接写出PA+PB的最小值,并在图中标出当PA+PB取最小值时点P的位置;
解:PA+PB的最小值为 .
(2)如图2.点M、N在∠BAC的内部,请在∠BAC的内部求作一点P,使得点P到∠BAC两边的距离相等,且使PM=PN.(尺规作图,保留作图痕迹,无需证明)
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【题目】某单位要印刷“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲印刷厂提出:每份材料收1元印刷费,另收150元的制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印刷费,不收制版费.设在同一家印刷厂一次印制数量为份(为正整数).
(1)根据题意,填写下表:
一次印制数量(份) | 5 | 10 | 20 | … | |
甲印刷厂收费(元) | 155 | … | |||
乙印刷厂收费(元) | 12.5 | … |
(2)在印刷品数量大于800份的情况下选哪家印刷厂印制省钱?
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【题目】如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E,连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若∠A=60°,DF=,求☉O的直径BC的长。
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