Question

14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，∠E=30°，交AB于点D，连接AE，则S_ADC：S_△ADE的比值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 过C作CF⊥AB于F，连接OE，设AC=a，求出CF，OE，根据S_△ADC：S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•CF：$\frac{1}{2}$•AD•OE计算即可．

解答 解：过C作CF⊥AB于F，连接OE，设AC=a，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠E=30°，
∴∠A=60°，∠ACF=30°，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AB=2AC=2a，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴OE⊥AB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=a
∴S_△ADC：S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•CF：$\frac{1}{2}$•AD•OE=$\sqrt{3}$：2．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．