Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒）；
（1）求A、B、C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程。

Answer 1

解：（1），
令y=0，得x²-8x-180=0，
（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10，
∴A（18，0），
在中，令x=0，得y=-10，
即B（0，-10），
由于BC∥OA，故点C的纵坐标为-10，
由得x=8或x=0，
即C（8，-10），
且易求出顶点坐标为，
于是A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），
顶点坐标为；
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t，得；
（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，，
说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，
由于QC∥OP，知△QDC∽△PDO，
故
同理QC∥AF，
故，
即
∴AF=4t=OP，
∴PF=PA+AF=PA+OP=18，
又点Q到直线PF的距离d=|OB|=|-10|=10，
∴
故当时，S_△PQF总为定值90；
（4）由前面知道，P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10），，
构造直角三角形后易得：
PQ²= （4t-8 +t）²+10²= （5t -8）²+100，
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100，
①若FP= FQ，即18²=（5t +10）²+100，
故25（t+2）²=224，（t+2）²=，
∵
∴
∴
②若QP=QF，即（5t-8）²+100=（5t+10）²+100，
即（5t-8）²=（5t+10）²，
无0≤t≤的t满足方程，
③若PQ=PF，即（5t-8）²+100=18²
∴（5t-8）²=224，
由于，又，
∴，
故无的t满足此方程，
综上所述：时，△PQF为等腰三角形。