Question

【题目】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

【答案】
（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，

依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，

过点P作PE⊥AD于E，

则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，

∴S△DPQ= DQAB= （16﹣t）×12=﹣6t+96

（2）解：当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，

∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，

∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形

（3）解：∵AE=BP=2t，PE=AB=12，

①当PD=PQ时，QE=ED= QD，

∵DE=16﹣2t，

∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，

解得：t= ，

∴当t= 时，PD=PQ

②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2

∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=

∴当t= 时，DQ=PQ

【解析】（1）S△QDP= DQAB，由题意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可将t求出；（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=（16﹣t）2可将t求出．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和平行四边形的判定与性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．