Question

11．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）若二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，求代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与二次函数y=a（x-1）²的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得k的值，把B的坐标代入反比例函数的解析式，则mn=k，然后利用mn表示出所求的式子代入求解；
（2）首先求得反比例函数与y=x的交点坐标，根据二次函数的解析式可以得到二次函数的顶点在x轴上，然后分成开口向上和开口向下两种情况讨论即可求解．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
∵二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，
∴n=（m-1）²=m²-2m+1，
∴m³n-2m²n+3mn-4n=m³n-2m²n+mn+2mn-4n
=mn（m²-2m+1）+2mm-4n
=4n+2×4-4n=8；
（2）设直线y=x与反比例函数y=$\frac{4}{x}$交点分别为C、D，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴点C（-2，-2），点D（2，2）．
①若a＞0，如图1，

当抛物线y=a（x-1）²经过点D时，
有a（2-1）²=2，解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得，满足条件的a的范围是0＜a＜2；
②若a＜0，如图2，

当抛物线y=a（x-1）²经过点C时，
有a（-2-1）²=-2，解得：a=-$\frac{2}{9}$．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得，满足条件的a的范围是a＜-$\frac{2}{9}$．
综上所述，满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜-$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数的交点的求解方法，正确对二次函数进行讨论是关键．