Question

在边长为1的正方形内任给五点，则必有两点，它们之间的距离不大于

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．

Answer 1

分析：由抽屉原则，显然我们应将这五点放入四个合适的抽屉中，且每个抽屉中任两个点的距离都不超过

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．于是我们可以通过连接正方形两组对边的中点，从而将其分割成长度为

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的四个小正方形来构造“抽屉”，即可证得．

解答：解：由抽屉原则，显然我们应将这五点放入四个合适的抽屉中，且每个抽屉中任两个点的距离都不超过

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．于是我们可以通过连接正方形两组对边的中点，从而将其分割成长度为

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的四个小正方形来构造“抽屉”．这样，任意的五个点中必有两个点一定在同一个小正方形内，如图所示，而每一个小正方形内两点间的最大距离就是

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．因此，在同一个小正方形内的两个点的距离一定不大于

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．于是命题得证．

这里，特别值得一提的是，并不是任意与几何图形有关的命题在构造抽屉时都一定得将图形等分（见下面的例9）．事实上，就本例来讲，如果将原正方形的两条对角线连接起来，也将原正方形四等分了，但是对于原命题的证明是没有任何原助的．因为这时如果两点恰好位于正方形的相邻的两个顶点处，这样的两个点也可以在一个抽屉内，但是这两个点的距离却不大于

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，显然与原命题的要求不符．

点评：本题考查抽屉原理的应用，难度较大．抽屉原理在竞赛题中经常用到，同学们要注意掌握．