Question

【题目】如图（1），E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA、ED．

（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③在图（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图（2），射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的四个区域（不含边界，其中③④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系．（不要求证明）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：过点E作EF∥CD，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．

（2）解：点P在区域①时，

如图1，在五边形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°

∴∠EPF=540°﹣∠B﹣∠C﹣（∠PEB+∠PFC）=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，如图2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，如图3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，如图4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】解阶梯式问题的基本策略是利用第1问的结论，特殊问题的方法可运用到一般问题中.