Question

17．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边AB=AC=4，以AB为直径的半圆交斜边BC于点D，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（　　）

• A． 6-π
• B． 8-π
• C． 8-2π
• D． 4

Answer 1

分析 连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，S_阴影=S_△ABC-S_△ABD-S_弓形AD由此可得出结论．

解答 解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$．
∵AB=4，
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△ABD-S_弓形AD
=S_△ABC-S_△ABD-（S_扇形AOD-$\frac{1}{2}$S_△ABD）
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8-π-2
=6-π．
故选A．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．