【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A( ,1)在反比例函数y= 的图象上.
(1)求反比例函数y= 的表达式;
(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP= S△AOB , 求点P的坐标;
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上.
【答案】
(1)
解:∵点A( ,1)在反比例函数y= 的图象上,
∴k= ×1= ,
∴反比例函数表达式为y= .
(2)
解:∵A( ,1),AB⊥x轴于点C,
∴OC= ,AC=1,
∵OA⊥OB,OC⊥AB,
∴∠A=∠COB,
∴tan∠A= =tan∠COB= ,
∴OC2=ACBC,即BC=3,
∴AB=4,
∴S△AOB= × ×4=2 ,
∴S△AOP= S△AOB= ,
设点P的坐标为(m,0),
∴ ×|m|×1= ,解得|m|=2 ,
∵P是x轴的负半轴上的点,
∴m=﹣2 ,
∴点P的坐标为(﹣2 ,0)
(3)
解:由(2)可知tan∠COB= = = ,
∴∠COB=60°,
∴∠ABO=30°,
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,
∴∠OBD=60°,
∴∠ABD=90°,
∴BD∥x轴,
在Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,
∴AO=DE=2,OB=DB=2 ,且BC=3,OC= ,
∴OD=DB﹣OC= ,BC﹣DE=1,
∴E(﹣ ,﹣1),
∵﹣ ×(﹣1)= ,
∴点E在该反比例函数图象上
【解析】(1)由点A的坐标,利用待定系数法可求得反比例函数表达式;(2)由条件可求得∠A=∠COB,利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC,可求得BC的长,可求得△AOB的面积,设P点坐标为(m,0),由题意可得到关于m的方程,可求得m的值;(3)由条件可求得∠ABD=90°,则BD∥x轴,由BD、DE的长,可求得E点坐标,代入反比例函数解析式进行判断即可.
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【题目】如图,已知一次函数的图像与轴交于点,一次函数的图像过点,且与轴及的图像分别交于点、,点坐标为.
(1)求n的值及一次函数的解析式.
(2)求四边形的面积.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .
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【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
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【题目】如图,两个反比例函数y1= (其中k1>0)和y2= 在第一象限内的图象依次是C1和C2 , 点P在C1上.矩形PCOD交C2于A、B两点,OA的延长线交C1于点E,EF⊥x轴于F点,且图中四边形BOAP的面积为6,则EF:AC为( )
A. ﹕1
B.2﹕
C.2﹕1
D.29﹕14
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【题目】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积= ACBD,其中正确的结论有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是( )
A. ∠AOD=90°
B. ∠AOC=∠BOC
C. ∠BOC+∠BOD=180°
D. ∠AOC+∠BOD=180°
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