Question

18．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为$DE+DF=\frac{1}{2}AD$，请给出证明．
（3）在（2）的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=$\frac{1}{2}$AD，即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，
（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=$\frac{1}{2}$AD．

解答 解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DPE}\\{PA=PD}\\{∠PAE=∠PDE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDF}\\{PM=PD}\\{∠MPE=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$AD；

（3）如图，

如图③，当点E落在AD的延长线上时，
取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDF}\\{PM=PD}\\{∠MPE=∠FPD}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=$\frac{1}{2}$AD．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．