Question

3．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂ （a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-3，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁷的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）由函数函数y=-x²+3x-2的解析式可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，然后依据旋转函数的定义得到-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，然后求得a₂，b₂，c₂的值即可；
（2）依据旋转函数的定义列出关于m、n的方程，从而可求得m、n的值，然后代入计算即可；
（3）先求得A，B，C三点的坐标，然后再求得A₁，B₁，C₁的坐标，然后可求得经过点A₁，B₁，C₁的二次函数的解析式，最后依据旋转函数的定义进行判断即可．

解答 解：（1）∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；

（2）解：根据题意得$\frac{4}{3}$m=-2n，-2+n=0，解得m=-3，n=2，
∴（m+n）²⁰¹⁷=（-3+2）²⁰¹⁷=-1； 

（3）证明：当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=2，则C（0，2），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=0，解得x₁=-1，x₂=4，
则A（-1，0），B（4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），…（8分）
设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x-1）（x+4），把C₁（0，-2）
代入得a₂•（-1）•4=-2，解得a₂=$\frac{1}{2}$，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=2-2=0，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，掌握旋转函数的定义是解题的关键．