Question

如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．
求证：（1）

QD

ED

=

AC

EC

；（2）

CP

PE

=

AC2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）由AB=CD=EF，根据考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到弧AB=弧CD=弧EF，得∠AEB=∠CED，得到∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，则△QDE∽△ACE，即有

QD

ED

=

AC

EC

；
（2）由弧CD=弧EF，得到DE∥CF，则

CP

PE

=

QC

DE

，∠CQD=∠QDE，而∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，所以∠QED=∠ADC，证得△QCD∽△DEQ，于是有

QC

DQ

=

DQ

DE

，即QC=

DQ2

DE

，得到

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

，再利用（1）的结论即可得到

CP

PE

=

AC2

CE2

．

解答：证明：（1）连AE，
∵AB=CD=EF，
∴弧AB=弧CD=弧EF，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，
又∵∠QDE=∠ACE，
∴△QDE∽△ACE，
∴

QD

ED

=

AC

EC

；

（2）∵弧CD=弧EF，
∴DE∥CF，
∴

CP

PE

=

QC

DE

，∠CQD=∠QDE，
∵∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，
而DC弧=AB弧，
∴∠QED=∠ADC，
∴△QDC∽△DEQ，
∴

QC

DQ

=

DQ

DE

，即QC=

DQ2

DE

，
∴

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

，
由（1）的结论

QD

ED

=

AC

EC

得，

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

=

AC 2

EC2

．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形相似的判定与性质．