Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．

（1）求证：AB⊥BC．

（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）17+7．

【解析】

（1）由勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；

（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题．

（1）证明：连接AC．

∵CD⊥AD，

∴AD2+CD2＝AC2，

∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，

∴AC2＝AB2+BC2，

∴∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC．

（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，

∵∠ABC＝90°，

∴AC2＝18k2，

在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，

∴18k2＝172+k2，

∴k＝，

∴CD＝，AB＝BC＝3，

∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+7．