Question

（2011•成华区二模）如图（1），已知正△ABC的面积为1，把它的各边延长一倍得到正△A₁B₁C₁；再把△A₁B₁C₁的各边延长一倍得到正△A₂B₂C₂（如（2））；…；如此下去，则正△A_nB_nC_n的面积为

7ⁿ

．

Answer 1

分析：先根据已知条件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．

解答：解：△ABC与△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
∴如此下去，则正△A_nB_nC_n的面积=7ⁿ．
故答案为：7ⁿ．

点评：本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积，根据题意得出S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7，S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，找出规律是解答此题的关键．