Question

18．已知D是△ABC的边AB上一点，AD：DB=1：2，∠A=45°，∠BDC=60°，求证：△CBD∽△ABC．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，如图，设DE=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2DE=2x，CE=$\sqrt{3}$x，在Rt△ACE中利用等腰直角三角形的性质得AE=CE=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$x，则AD=AE-DE=（$\sqrt{3}$-1）x，所以DB=2（$\sqrt{3}$-1）x，则BE=BD-DE=（2$\sqrt{3}$-3）x，利用勾股定理计算出BC=$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}$-1）x，于是可计算出$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，加上∠DBC=∠CBA，则可判断△CBD∽△ABC．

解答 证明：作CE⊥AB于E，如图，设DE=x，
在Rt△CDE中，∵∠CDE=60°，
∴CD=2DE=2x，CE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{3}$x，AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$x，
∴AD=AE-DE=（$\sqrt{3}$-1）x，
∵AD：DB=1：2，
∴DB=2（$\sqrt{3}$-1）x，
∴BE=BD-DE=（2$\sqrt{3}$-3）x，
在Rt△BCE中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{[（2\sqrt{3}-3）{x]}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=$\sqrt{6}$（$\sqrt{3}$-1）x，
∵$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）x}{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）x}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}（\sqrt{3}-1）x}{3（\sqrt{3}-1）x}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，
而∠DBC=∠CBA，
∴△CBD∽△ABC．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了含30°的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．解决问题的根据是作辅助线是45°和60°在直角三角形中，利用代数式法表示出图中所有线段．