Question

若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它的本身．
（1）试求

2a+2b

m+2

+ac的值．
（2）若a＞1，比较a、b、c的大小．
（3）若m≠0，试探讨|x+m|-|x-m|的最大值．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件得出a+b、bc与ac的值，再把所要求的式子进行整理代入即可求出结果．
（2）本题由（1）可知a、b、c的值，再根据已知条件即可得出它们的大小．
（3）本题需先根据已知条件，得出m的值，再分别进行讨论即可求出|x+m|-|x-m|的最大值．

解答：解：（1）∵a、b互为相反数，b、c互为倒数
∴a+b=0，bc=1，
∴ac=-1，
∴

2a+2b

m+2

+ac=

2(a+b)

m+2

+ac=

2×0

m+2

+(-1)=-1；

（2）由（1）可知：a+b=0，ac=-1，
∴a=-b，a=-

1

c

，
∵a＞1，
∴-b＞1，-

1

c

＞1，
即b＜-1，-1＜c＜0，
∴a＞c＞b；

（3）∵m的立方等于它的本身，
∴m=-1，或m=0，或m=1，
若m≠0，
当m=-1时，|x+m|-|x-m|=|x-1|-|x+1|，
由绝对值的非负性可知
当|x+1|=0时，|x-1|-|x+1|有最大值，
即当x=-1时，|x-1|-|x+1|有最大值2，
同理，当m=1时，|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|，
当x=1时，|x+1|-|x-1|有最大值2，
综上所述，若m≠0，|x+m|-|x-m|的最大值为2．

点评：本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意运算法则、顺序和绝对值的大小是本题的关键．