如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，AB=10$\sqrt{3}$，点D在边AB上，AD=2$\sqrt{3}$，点P，Q同时以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度从D点出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为边向上作等边△PQE及其内切圆⊙I．过P作PF⊥AB交折线AC-CB于点F，FP绕点F顺时针旋转60°得到FG，过G作GH⊥FP于H．当P运动到点B时，P，Q停止运动，设运动时间为t秒．分析 （1）易知当0＜t＜2时，AP=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$t，AQ=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t．
（2）如图1中，作CK⊥AB于K．由题意当点F与C重合时，FG=FP=CK，此时FG的值最大，求出DK的值即可解决问题．
（3）①分三种情形求解a、如图2中，连接AI、IQ、ID．当⊙I与AC、AB相切时，∠IAD=∠IAC=15°，∠IQD=30°，推出∠QAI=∠QIA=15°，推出AQ=IQ，设ID=x，则IQ=AQ=2x，DQ=$\sqrt{3}$x，由AD=2$\sqrt{3}$，可得2x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，解方程即可．b、如图3中，当t＞2时，⊙I与AC、AB相切时．想办法列出方程即可解决问题．C、如图4中，当P与B重合时，⊙I与AB、BC相切，此时t=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8．
②求出图5、图6、图7、图8中，G在⊙I上时，t的值即可解决问题．
解答 解：（1）当0＜t＜2时，由题意AP=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$t，AQ=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
故答案为2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$t，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t．
（2）如图1中，作CK⊥AB于K．
在Rt△ACB中，∵AB=10$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴BC=5$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$BC=15，
在Rt△ACK中，∵AC=15，∠A=30°，
∴CK=$\frac{15}{2}$，AK=$\sqrt{3}$CK=$\frac{15}{2}$$\sqrt{3}$，
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴DK=AK-AD=$\frac{11}{2}$$\sqrt{3}$，
由题意当点F与C重合时，FG=FP=CK，此时FG的值最大，
∴t=$\frac{11}{2}$s时，FG的值最大．
（3）①如图2中，连接AI、IQ、ID．
当⊙I与AC、AB相切时，∠IAD=∠IAC=15°，∠IQD=30°，
∴∠QAI=∠QIA=15°，
∴AQ=IQ，设ID=x，则IQ=AQ=2x，DQ=$\sqrt{3}$x，
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴2x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴x=4$\sqrt{3}$-6，
∴DQ=$\sqrt{3}$x=12-6$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{12-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$-6．
如图3中，当t＞2时，⊙I与AC、AB相切时．
易知PQ=4$\sqrt{3}$，作IM⊥PQ于M，
易知QM=2$\sqrt{3}$，IM=2，AQ=QI=4，
∴DQ=AQ-AD=4-2$\sqrt{3}$，
∴DP=DQ+QP=4+2$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$．
如图4中，当P与B重合时，⊙I与AB、BC相切，此时t=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8．
综上所述，当t=（4$\sqrt{3}$-6）s或$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$s或8s时，⊙I与△ABC的两边相切．
②如图5中，当点G在⊙I上时，此时易知AQ=QG=QD=$\sqrt{3}$，t=1s，
如图6中，当t＞2时，点G在⊙I上时，易知DG=EG=AD=2$\sqrt{3}$，此时点Q与D重合，t=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4，
由此可知，当1＜t＜4时，点G在⊙I内．
如图7中，当点G在⊙I上时，作GK⊥PQ于K．
易知PF=2PH=2GK=6，
在Rt△PFB中，∵PF=6，∠B=60°，
∴PB=$\frac{PF}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DP=6$\sqrt{3}$，
∴t=6．
如图8中，当点G在⊙I上时，易知△PFG时等边三角形，PF=PG=FG=2，PB=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．
∴PD=8$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{22\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{22}{3}$，
由此可知，6＜t＜$\frac{22}{3}$时，点G在⊙I上，
综上所述，当1＜t＜4或6＜t＜$\frac{22}{3}$时，点G在⊙I内．
点评 本题考查圆综合题、等边三角形的性质、直角三角形30度角性质、平移变换、直线与圆相切条件、点与圆位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会取特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．
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| 甲 | 乙 | 丙 | |
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