Question

（2013•高港区二模）如图，在平面直角坐标系中0A=2，0B=4，将△OAB绕点O顺时针旋转90°至△OCD，若已知抛物线y=ax²+bx+c过点A、D、B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结DB，将△COD沿射线DB平移，速度为每秒

2

个单位．
①经过多少秒O点平移后的O′点落在线段AB上？
②设DO的中点为M，在平移的过程中，点M、A、B能否构成等腰三角形？若能，求出构成等腰三角形时M点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：1）先根据题意求的点A、B、D的坐标，再根据待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①设经过t秒O点平移后的O′点落在线段AB上，即可得到点O′的坐标为（t，-t），再求得直线AB解析式，从而求得结果；
②先根据线段中点的性质得到点M的坐标，再分MA=MB、AB=AM、BA=BM三种情况求解即可．

解答：解：（1）由题意得A（2，0），B（0，-4），D（-4，0）
∴

4a+2b+c=0 c=-4 16a-4b+c=0

，解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
∴此抛物线的解析式为y=

1

2

x²+x-4；
（2）①∵B（0，-4），D（-4，0），
∴直线BD的解析式为y=-x-4，
∵OC=2，
∴点O在直线y=-x上运动，
∴设经过t秒O点平移后的O′点落在线段AB上，
则点O′的坐标为（t，-t）
易得AB解析式为y=2x-4，则-t=2t-4，解得t=

4

3

，
答：经过

4

3

秒O点平移后的O′点落在线段AB上；
（3）由题意得DO的中点M的坐标为（t-2，-t）
当MA=MB时，可得M（-1，-1）
当AB=AM时，可得M（

6

，-2-

6

）
当BA=BM时，可得M（4，-6）．

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．