Question

【题目】如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝4，求出α的度数即可．

解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．

连接OC，OD，PE，PF．

∵点P与点C关于OA对称，

∴OA垂直平分PC，

∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，

同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．

∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，

∴∠COD＝2α．

又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，

∴OC＝OD＝CD＝4，

∴△COD是等边三角形，

∴2α＝60°，

∴α＝30°．

故答案为：30°