Question

如图，正△ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP₁，形成扇形D₁；将线段BP₁绕点B顺时针旋转120°至BP₂，形成扇形D₂；将线段CP₂绕点C顺时针旋转120°至CP₃，形成扇形D₃；将线段AP₃绕点A顺时针旋转120°至AP₄，形成扇形D₄，…．设l_n为扇形D_n的弧长（n=1，2，3，…），S_n为扇形D_n的面积．
（1）按照要求填表：

n	1	2	3	4	5	…
ln

（2）求l_n；
（3）求S_n．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,弧长的计算

专题：规律型

分析：从上图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是120°，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧长公式、扇形面积公式计算．

解答：解：（1）根据弧长公式得l₁=

120π×1

180

=

2π

3

；
l₂=

120π×2

180

=

4π

3

；
l₃=

120π×3

180

=2π；
l₄=

120π×4

180

=

8π

3

；
l₅=

120π×5

180

=

10π

3

；
…
l_n=

120nπ

180

=

2nπ

3

；
故答案是：

2π

3

；

4π

3

；2π；

8π

3

；

10π

3

；

2nπ

3

；

（2）由（1）知，l_n=

2nπ

3

；

（3）S₁=

120π×12

360

=

π

3

，
S₂=

120π×22

360

=

22π

3

，
S₃=

120π×32

360

=

32π

3

，
…
S_n=

n2π

3

．

点评：本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算．熟记公式是解题的关键．