Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高为4，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A后，再以每秒1个单位的速度沿线段AD运动，到点D停止．当点P不与平行四边形的顶点重合时，过点P作P所在边的垂线PQ交直线BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使点N落在射线PA或PD上，设点P运动时间为t秒，正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）写出线段QM的长；
（2）当点M落在线段AD上时，求t的值；
（3）当点P在线段BA上运动时，求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）当点P运动4秒时，有一点F从D出发，在线段DA上以每秒5个单位的速度沿D-A-D运动一次，请直接写出点F在正方形PQMN的边PN上时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行计算，当P在AB或AD上时，根据正方形的性质和∠B的正切进行计算即可；
（2）根据四边形ABQM是平行四边形，得MQ=AB=5，利用tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$=$\frac{4}{3}$，求t的值；
（3）先计算当N与A重合时，如图5，t=$\frac{15}{7}$，
再分三种情况讨论：①当0＜t≤$\frac{15}{7}$时，正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是正方形PQMN，
②当$\frac{15}{7}$$＜t≤\frac{15}{4}$时，如图6，此时正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是五边形APQME，
③当$\frac{15}{4}$＜t＜15时，如图7此时正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是梯形APQE，
分别求出重叠部分面积；
（4）点F在正方形PQMN的边PN上时，有两个时间段，分别计算F从D到A运动、从A返回到D时，当F分别与P与N重合时的两个分界线即可．

解答 解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，
∴tan∠B=$\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}$，
当0＜t＜5时，如图2，由题意得：BP=t，
在Rt△BPQ中，tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$，
∴$\frac{PQ}{t}$=$\frac{4}{3}$，
∴PQ=$\frac{4t}{3}$，
∵四边形PQMN是正方形，
∴QM=PQ=$\frac{4t}{3}$；
当5＜t＜15时，如图3，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PQ⊥AD，
∵BC边上的高为4，
∴PQ=QM=4，
综上所述，QM的长为$\frac{4t}{3}$或4；

（2）当点M落在线段AD上时，如图4，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，
∴AB∥QM，
∵AM∥BQ，
∴四边形ABQM是平行四边形，
∴MQ=AB=5，
∴PQ=5，
tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{5}{t}=\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{15}{4}$；
（3）当N与A重合时，如图5，
∵BP=t，PN=PQ=$\frac{4t}{3}$，
由BP+PN=AB=5得：t+$\frac{4t}{3}$=5，
t=$\frac{15}{7}$，
①当0＜t≤$\frac{15}{7}$时，正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是正方形PQMN，
∴S=QM²=$（\frac{4t}{3}）^{2}$=$\frac{16{t}^{2}}{9}$，
②当$\frac{15}{7}$$＜t≤\frac{15}{4}$时，如图6，
此时正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是五边形APQME，
∵BP=t，AB=5，
∴PA=5-t，
∵PN=$\frac{4t}{3}$，
∴AN=$\frac{4t}{3}$-（5-t）=$\frac{7t}{3}$-5，
∵tan∠NAE=tan∠B，
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{4}{3}$，
∴NE=$\frac{4}{3}$AN=$\frac{4}{3}$（$\frac{7t}{3}$-5）=$\frac{28t}{9}$-$\frac{20}{3}$，
∴S=S_{正方形NPQM}-S_△ANE=$（\frac{4t}{3}）^{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{7t}{3}$-5）（$\frac{28t}{9}$-$\frac{20}{3}$）=-$\frac{50}{27}{t}^{2}+\frac{140}{9}t-\frac{50}{3}$；
③当$\frac{15}{4}$＜t＜15时，如图7，
此时正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分是梯形APQE，
∵AP=5-t，EQ=5，PQ=$\frac{4t}{3}$，
∴S=S_梯形APQE=$\frac{1}{2}$（AP+EQ）•PQ，
=$\frac{1}{2}$（5-t+5）×$\frac{4t}{3}$，
=-$\frac{2}{3}{t}^{2}$+$\frac{20}{3}t$；
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{9}{t}^{2}（0＜t≤\frac{15}{7}）}\\{-\frac{50}{27}{t}^{2}+\frac{140}{9}t-\frac{50}{3}（\frac{15}{7}＜t≤\frac{15}{4}）}\\{-\frac{2}{3}{t}^{2}+\frac{20}{3}t（\frac{15}{4}＜t＜15）}\end{array}\right.$，
（4）设F运动时间为t′秒，
如图8，BP′=4，P在边AD上运动时，当F与N重合时，
AP=t′-1，DF=5t′，PN=4，
由AP+PN+DN=10得：t′-1+4+5t′=10，
t′=$\frac{7}{6}$；
t=$\frac{7}{6}+4$═$\frac{31}{6}$
当F与P第一次重合时，如图9，
由AP+DF=10得：t′-1+5t′=10，
t′=$\frac{11}{6}$，
t=$\frac{11}{6}$+4=$\frac{35}{6}$，
∴点F从D到A运动时，在正方形PQMN的边PN上时t的取值范围是$\frac{31}{6}$≤t$≤\frac{35}{6}$；
当F与P第二次重合时，如图10，
此时PD=FD=20-5t′，AP=t′-1，
由AP+DF=10得：20-5t′+t′-1=10，
t′=$\frac{9}{4}$，
∴t=$\frac{9}{4}$+4=$\frac{25}{4}$，
当F最后回到终点D时，t′=4，
当F与N第二次重合时，如图11，
FD=20-5t′，AP=t′-1，
由AP+PN+FD=10得：t′-1+4+20-5t′=10，
t′=$\frac{13}{4}$＜4，
∴t=$\frac{13}{4}$+4=$\frac{29}{4}$，
∴点F从A到D运动时，在正方形PQMN的边PN上时t的取值范围是$\frac{25}{4}$≤t$≤\frac{29}{4}$；
综上所述，在正方形PQMN的边PN上时t的取值范围是$\frac{31}{6}$≤t$≤\frac{35}{6}$和$\frac{25}{4}$≤t$≤\frac{29}{4}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、正方形的性质和判定、动点运动问题，以及重叠部分面积的求法，比较复杂，解决两个问题是关键：①根据图形正确表示点P的路程，②第四问中注意F的路线是：D-A-D，时间是4秒后，F开始运动．