Question

已知△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20cm，M、N分别为AB、AC上两点，求BN+NM+MC的最小值．

Answer 1

解：作B点关于AC的对称点B′，作C点关于AB的对称点C′，连接C′B′分别交AB、AC于点M、N，则BN+NM+MC=B′N+MN+MC′为最小值，
∵C′D=CD，C′D⊥AB，
∴△ACC′是等腰三角形，
∴AC′=AC，∠C′AC=∠DAC=20°，
同理，△ABB′是等腰三角形，
∴AB=AB′，∠B′AC=∠BAC=20°，
∵AB=AC，
∴AC′=AB′，
∵∠C′AB′=∠C′AD+∠BAC+∠B′AC=20°+20°+20°=60°，
∴△AB′C′是等边三角形，
∴B′C′=AB′=AB=20cm，即BN+NM+MC的最小值为20cm．
故答案为：20cm．
分析：作B点关于AC的对称点B′，作C点关于AB的对称点C′，连接C′B′分别交AB、AC于点M、N，则BN+NM+MC=B′N+MN+MC′为最小值，易证△AB′C′是等边三角形，故B′C′=AB′=AB=20cm．
点评：本题考查的是最短路线问题，解答此题的关键是利用轴对称变换将求三条线段的和转化为求一条线段的长．