Question

如图，在长方形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点．已知长方形ABCD的面积是40cm²．则四边形MFNP的面积是

 

cm²．

Answer 1

分析：由于四边形ABCD是矩形，那么AB=CD，AB∥CD，而易求AE=DG，易证△PDG≌△PEA，从而可知P是DE、AG中点，利用梯形中位线定理可知QF∥AB∥CD，并易证明四边形ABFG、FCDG是矩形，而利用平行线分线段成比例定理的推论，易求QP=

1

4

AB，从而有PF=

3

4

AB，再利用QF∥AB，可得△AEM∽△FPM，那么AM：MF=AE：PF=3：2，同理DN：NF=3：2，易证MN∥
AD，且MN⊥QF，利用S_{四边形MFNP}=

1

2

×MN×PF即可求面积．

解答：解：如右图所示，连接MN、FP，并延长FP交AD于Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠PDG=∠PEA，∠PGD=∠PAE，
又∵E、G是AB、CD中点，
∴AE=

1

2

AB，DG=

1

2

CD，
∴AE=DG，
∴△PDG≌△PEA，
∴PD=PE，PG=PA，
∴P是DE、AG中点，
又∵F是BC中点，
∴PF∥CD，
∴FQ∥CD，
∴△DQP∽△DAE，
∴QP：AE=DQ：AD=1：2，
∴PQ=

1

2

AE，
∴PQ=

1

4

AB，
∴四边形ABFQ、FCDQ是矩形，
∵F是BC中点，
∴AQ=DQ=BF=CF，
∴PF=

3

4

AB，
∵AB∥PQ，
∴△AEM∽△FPM，
∴AM：MF=AE：PF=3：2，
同理DN：NF=3：2，
∴AM：MF=DN：NF，
∴MN∥AD，
∴MN⊥FQ，
∴MN：AD=MF：AF=3：5，
∴MN=

3

5

AD，
∴S_{四边形MFNP}=

1

2

×MN×PF=

1

2

×

9

20

×AB×CD=

9

40

×40=9．
故答案为：9．

点评：本题考查了矩形的性质和判定、梯形中位线定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接MN、FP，并延长FP交AD于Q，证明MN⊥FP．