Question

如图，在平面直角坐标系中，点A₁是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l₁的一个交点；点A₂是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l₂的一个交点；点A₃是以原点O为圆心，半径为4的圆与过点（0，3）且平行于x轴的直线l₃的一个交点；点A₄是以原点O为圆心，半径为5的圆与过点（0，4）且平行于x轴的直线l₄的一个交点
（1）分别求出A₁、A₂、A₃、A₄四点的坐标；
（2）按照这样的规律进行下去，猜想、归纳点A_n的坐标为

 

；
（3）A₁、A₂、A₃、A₄四点在同一条直线上吗？如果在，求出该直线的解析式，如果不在，试判断这四个点所在的函数图象，并证明你的结论．

Answer 1

分析：在（1）中，可连接OA₁，OA₂，OA₃，
在直角三角形OA₁M中，可得出A₁B=

22-1

=

3

，因此A₁（

3

，1）；
在直角三角形OA₂N中，可得出A₂C=

32-22

=

5

，因此A₂（

5

，2）；
在直角三角形OA₃Q中，可得出A₃D=

42-32

=

7

，因此A₃（

7

，3）；
…
（2）根据（1）题，易求出A_n（

(n+1)2-n2

，n），即A_n（

2n+1

，n）；
（3）题已知了A_n的横坐标和纵坐标的表达式，可联立两个含n的表达式，消去n后即可得出四点所在函数的解析式．

解答：解：（1）A₁（

3

，1）、A₂（

5

，2）、A₃（

7

，3）、A₄（3，4）；

（2）A_n（

2n+1

，n）；

（3）不在同一条直线上，四点在抛物线上
令

x= 2n+1 y=n

．
消去n得y=

1

2

x²-

1

2

，
该函数为二次函数，其图象是抛物线．

点评：本题结合圆的相关知识考查了动态性和规律性问题，找出点A的坐标的规律是解题的关键．