Question

1．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标（2，-1）．
（2）求弧$\widehat{AC}$的长（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，AB和BC的垂直平分线的交点为D点，然后利用格线易得两垂直平分线，再写出D点坐标即可；
（2）利用勾股定理即可求得⊙D的半径，易证得△ADF≌△DCG，则可得∠ADC=90°，然后由弧长公式，求得答案．

解答 解：（1）作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点D，如图，
则D点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1），

（2）连接AD，
则AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
在△ADF和△DCG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DF=CG=2}\\{∠AFD=∠DGC=90°}\\{AF=DG=4}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠ADF=∠DCG，
∵∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，
∴$\widehat{AC}$的长为：$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π．

点评 此题考查了垂径定理、勾股定理以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．