Question

20．如图，我校九年级一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山BC的高度（结果保留根号）．

Answer 1

分析 首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案．

解答 解：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，
则DE∥FC，DF∥EC，
∵∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=FC，
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=45°-30°=15°．
又∵∠ABD=∠HBD-∠HBA=60°-45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形，
∴AD=BD=180（米），
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=$\frac{DE}{AD}$，
∴DE=180•sin30°=180×$\frac{1}{2}$=90（米），
∴FC=90米．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=$\frac{BF}{BD}$，
∴BF=180•sin60°=180×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=90$\sqrt{3}$，
∴BC=BF+FC=90（$\sqrt{3}$+1）（米），
答：小山的高度BC为90（$\sqrt{3}$+1）米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．