Question

9．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
（1）当m=4时，求n的值；
（2）设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
（3）当-3≤x≤0时，若二次函数-3≤x≤0时的最小值为-4，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出n=3m-9，代入m=4可求出n值；
（2）由m=-2可求出抛物线对称轴为x=1、n=-15，由当-3≤x≤0时，y随x的增大而减小，即可得出此时二次函数y=x²+mx+n的最小值；
（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三种情况，结合二次函数的图象以及y在-3≤x≤0时的最小值为-4，即可求出m、n的值．

解答 解：（1）当y=x+3=0时，x=-3，
∴点A的坐标为（-3，0）．
∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A，
∴0=9-3m+n，即n=3m-9，
∴当m=4时，n=3m-9=3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{m}{2}$，
当m=-2时，对称轴为x=1，n=3m-9=-15，
∴当-3≤x≤0时，y随x的增大而减小，
∴当x=0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-15．
（3）①当对称轴-$\frac{m}{2}$≤-3，即m≥6时，如图1所示．
在-3≤x≤0中，y=x²+mx+n的最小值为0，
∴此情况不合题意；
②当-3＜-$\frac{m}{2}$＜0，即0＜m＜6时，如图2，
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4n}=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（舍去），
∴m=2、n=-3；
③当-$\frac{m}{2}$≥0，即m≤0时，如图3，
有$\left\{\begin{array}{l}{n=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$（舍去）．
综上所述：m=2，n=-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征找出n=3m-9；（2）根据二次函数的性质找出：当x=0时，二次函数y=x²+mx+n取得最小值；（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三种情况考虑．