Question

某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：

甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．
（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=______，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由．
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和，再求出各角的度数；根据同弧所对的圆周角相等，得出=，利用等式的性质，两边同时减去 即可得到=根据同弧所对的弦相等，得出DC=AE；
（2）由图知∠AFC对，由=，而∠DAF对的=+=+=，故可得出∠AFC=∠DAF．，同理可证，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论．
解答：解：（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC==108°，
理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着，∠B对着，
∴=，
∴-=-，即=，
∴BC=AE．
同理可证其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）由图知∠AFC对，
∵=，而∠DAF对的=+=+=，
∴∠AFC=∠DAF．
同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故图2中六边形各角相等；

（3）由（1）、（2）可知，当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．
点评：本题考查的是正多边形形和圆，熟知弧、圆心角、弦的关系是解答此题的关键．