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小明同学将直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与抛物线分别相交于A、B两点.小明发现交点A、B两点的连线总经过一个固定点,则该点坐标为            
(0,-2).

试题分析:设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0),表示出直线AB解析式中b=-mn,再利用勾股定理得出mn=4,进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C(0,-2).
设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,则

①×n+②×m得,(m+n)b=-(m2n+mn2)=-mn(m+n),
∴b=-mn,
由前可知,OB2=n2+n4,OA2=m2+m4,AB2=(n+m)2+(-m2+n22
由AB2=OA2+OB2,得:n2+n4+m2+m4=(n+m)2+(-m2+n22
化简,得mn=4.
∴b=-×4=-2.由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,-2),
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线与x轴交于点、C,与y轴交于点B(0,3),抛物线的顶点为p。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(-5,6)。
①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值;
②设平移后抛物线与y轴交于点D,顶点为Q,点M是平移后的抛物线上的一个动点。请探究:当点M在何处时,△MBD的而积是△MPQ面积的2倍?求出此时点M的坐标。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3)点D在x轴正半轴上,且线段OD=OC
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点的移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线经过A(,0),C(2,-3)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)若将此抛物线平移,使其顶点为点D,需如何平移?写出平移后抛物线的解析式;
(3)过点P(m,0)作x轴的垂线(1≤m≤2),分别交平移前后的抛物线于点E,F,交直线OC于点G,求证:PF=EG.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

请写出一个开口向下,对称轴是直线的抛物线的解析式         .

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,对往年的市场行情和生产情况进行了调查,提供了如下两个信息图,如甲、乙两图。
注:甲、乙两图中的A、B、C、D、E、F、G、H所对应的纵坐标分别指相应月份每千克该种蔬菜的售价和成本(生产成本6月份最低,甲图的图象是线段,乙图的图象是抛物线的一部分)。请你根据图象提供的信息说明:

(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?最大收益是多少?说明理由。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点A坐标为(-1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a+2b+c>0;③B点坐标为(4,0);④当x<-1时,y>0.
其中正确的是(  )
A.①②      B.③④      C.①④      D.②③

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如果一条抛物线轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是       三角形;
(2)如图,△OAB是抛物线的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若以点E为圆心,r为半径的圆与线段AD只有一个公共点,求出r的取值范围.

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