Question

证明：平行四边形的对角线的平方之和等于各边的平方之和．

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线．

求证：AC²＋BD²＝AB²＋BC²＋CD²＋DA²．

Answer 1

答案：
解析：

证明：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F． 　　∵AB＝CD，AE＝DF，(作垂直构造直角) 　　∴Rt△ABE≌Rt△DCF，∴BE＝CF． 　　∵AC2＝(BC－BE)2＋AE2＝BC2－2BC·BF＋BE2＋AE2 　　＝BC2＋BE2－2BC·BE＋AB2－BE2 　　＝BC2＋AB2－2BC·BE， 　　而BD2＝(BC＋CF)2＋DF2＝BC2＋2BC·CF＋CF2＋DC2－CF2 　　＝BC2＋CD2＋2BC·BE，(用上全等得到边的转化) 　　∴AC2＋BD2＝BC2＋AB2－2BC·BE＋BC2＋CD2＋2BC·BE 　　＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2． 　　分析：从所求证算式的结构上看，平方和的形式容易联想到勾股定理，因此首先要想办法构造直角三角形．

提示：

注：本题的易错点是不先写已知求证，解题的关键是做出辅助线构造直角三角形运用勾股定理．