考点:垂径定理,等腰三角形的性质,解直角三角形
专题:
分析:分两种情况考虑:(i)如图1所示,由AB=AC,OB=OC,利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC,在直角三角形ABD中,由AB及cos∠ABC的值,利用锐角三角函数定义求出BD的长,再利用勾股定理求出AD的长,在直角三角形OBD中,由OB与BD的长,利用勾股定理求出OD的长,由AD+DO即可求出AO的长;(ii)同理由AD-OD即可求出AO的长,综上,得到所有满足题意的AO的长
解答:解:解:分两种情况考虑:
(i)如图1所示,
∵AB=AC,OB=OC,
∴AO垂直平分BC,
∴OA⊥BC,D为BC的中点,
在Rt△ABD中,AB=5,tan∠ABC=
=
,
设AD=4x,BD=3x,由勾股定理得:(3x)
2+(4x)
2=5
2,
x=1,
∴BD=3,AD=4,
在Rt△BDO中,OD=
=1,BD=3,
则AO=AD+OD=4+1=5;
(ii)如图2所示,AO=AD-OD=4-1=3;
综合上述,OA的长为3或5.
故答案为:3或5.
点评:此题考查了垂径定理,勾股定理,等腰三角形的性质,以及直角三角形的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.