Question

在△ABC中，AB=AC=5，tanB=

4

3

．若⊙O的半径为

10

，且⊙O经过点B、C，那么线段OA的长等于

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,等腰三角形的性质,解直角三角形

专题：

分析：分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长

解答：解：解：分两种情况考虑：

（i）如图1所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB=5，tan∠ABC=

4

3

=

AD

BD

，
设AD=4x，BD=3x，由勾股定理得：（3x）²+（4x）²=5²，
x=1，
∴BD=3，AD=4，
在Rt△BDO中，OD=

( 10 )2-32

=1，BD=3，
则AO=AD+OD=4+1=5；
（ii）如图2所示，AO=AD-OD=4-1=3；
综合上述，OA的长为3或5．
故答案为：3或5．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．