Question

（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．
（1）求证：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，S_ABCD=16，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四边形ACED是平行四边形，即可证得AC=DE，又由等腰梯形的性质，可得AC=BD，即可证得结论；
（2）首先过点D作DF⊥BC于点F，可证得△BDE是等腰直角三角形，由S_ABCD=16，可求得BD的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∴BD=DE．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD=DE，
∴S_△BDE=

1

2

BD•DE=

1

2

BD²=

1

2

BE•DF=

1

2

（BC+CE）•DF=

1

2

（BC+AD）•DF=S_梯形ABCD=16，
∴BD=4

2

，
∴BE=

2

BD=8，
∴DF=BF=EF=

1

2

BE=4，
∴CF=EF-CE=1，
∴AB=CD=

CF2+DF2

=

17

．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．