Question

已知点C是线段BD上一动点，分别以线段BC和线段DC为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：CE为⊙O的切线；
（2）如图2，若△CDE的边DE所在的直线与⊙O切于点F，求CD：BC的值．

Answer 1

分析：（1）连结OC，根据等边三角形的性质得∠ACB=∠ECD=60°，则∠ACE=60°，再根据等边三角形的内外心重合得到∠ACO=30°，则∠OCE=90°，
然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，根据垂径定理得BH=CH，设OH=a，则CH=

3

a，OC=2a，所以BC=2

3

a，OF⊥FD，由△CDE为等边三角形得∠CED=60°，∠D=60°，则∠CEF=120°，易得∠COF=60°，于是可判断△OCF为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠OFC=60°，FC=OC=2a，可计算出∠CFD=30°，则∠FCD=90°，由此得到CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，然后计算CD：BC．

解答：（1）证明：连结OC，如图1，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴点O是等边△ABC的外心和内心，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠OCE=30°+60°=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，如图2，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
设OH=a，则CH=

3

a，OC=2a，
∴BC=2

3

a，
∵DF与⊙O切于点F，
∴OF⊥FD，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，∠D=60°，
∴∠CEF=120°，
而∠OCE=∠OFE=90°，
∴∠COF=60°，
∴△OCF为等边三角形，
∴∠OFC=60°，FC=OC=2a，
∴∠CFD=30°，
∴∠FCD=90°，
∴CD=

3

3

FC=

2 3 a

3

，
∴CD：BC=

2 3 a

3

：2

3

a=1：3．

点评：切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．