练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    5．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．
    ①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；
    ②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．

    分析 （1）由C、D坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
    （2）①可先求得抛物线的对称轴和直线l的解析式，则可求得E点坐标，由条件可证得TE∥x轴，则可求得T点纵坐标，代入抛物线解析式，可求得T点坐标；②过E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，利用平行线分线段成比例可求得OF=OE，可求得F点坐标，则可求得直线EF的解析式，则可设出直线PB的解析式，把B点代入可求得直线PB解析式，可求得P点坐标．

    解答 解：
    （1）把C、D两点的坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{36a+18+c=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8；
    （2）①∵y=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8=-$\frac{1}{2}$（x-3）2+$\frac{25}{2}$，
    ∴抛物线对称轴为x=3，

    设直线l解析式为y=kx，
    把D（6，8）代入可得8=6k，解得k=$\frac{3}{4}$，
    ∴直线l的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
    ∴E（3，4），
    ∵O（0，0），C（0，8），
    ∴OE=CE，
    ∴点E在线段OC的垂直平分线上，
    ∵∠TEC=∠TEO，
    ∴TE∥x轴，
    ∴T的纵坐标为4，
    在y=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8中，令y=4可得4=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8，解得x=3+$\sqrt{17}$或x=3-$\sqrt{17}$，
    ∴T的坐标为（3+$\sqrt{17}$，4）或（3-$\sqrt{17}$，4）；
    ②在y=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8中，令y=0可得0=-$\frac{1}{2}$x2+3x+8，解得x=-2或x=8，
    ∴B（8，0），
    ∵E（3，4），
    ∴OE=5，
    如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，

    ∴$\frac{OP}{OF}$=$\frac{OQ}{OE}$，
    ∵OP=OQ，
    ∴OF=OE=5，
    ∴F（0，5），
    ∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，
    把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=-$\frac{1}{3}$，
    ∴直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+5，
    ∴可设直线PB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+m，
    把B点坐标代入可得0=-$\frac{1}{3}$×8+m，解得m=$\frac{8}{3}$，
    ∴P点坐标为（0，$\frac{8}{3}$）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的性质、平行线分线段成比例等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得E点的纵坐标是解题的关键，在②中求得F点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    15．某幢楼10户家庭每月的用电量如下表所示：
    用电量（度）140160180200
    户数1342
    那么这10户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（　　）
    A．180，180B．180，160C．160，180D．160，160

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．如图，△ABC中，BF、CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，DF∥BC交AC于E，若△ABC的周长为15，BC=4，则△ADE的周长为（　　）
    A．8B．9C．10D．11

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    13．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
    A．35°B．30°C．25°D．15°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    20．根据分式的基本性质，分式$\frac{-a}{a-b}$可变形为（　　）
    A．$\frac{a}{-a-b}$B．-$\frac{a}{a+b}$C．$\frac{a}{a+b}$D．-$\frac{a}{a-b}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，-1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（　　）
    A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．-1＜a＜1

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．某电子元件厂准备生产1200个电子元件，生产一半后，由于要尽快投入市场，该厂提高了生产效率，每天生产的电子元件个数是原来的1.2倍，结果提前2天完成了任务，求该厂后来每天生产电子元件多少个？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．下列是二元一次方程的是（　　）
    A．3x-6y=xyB．3x-6=xC．3x-$\frac{6}{y}$=0D．3x-6y=x

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    9．某商场去年1～5月的商品销售总额一共是410万元，图①表示的是其中每个月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，下列说法不正确的是（　　）
    A．1月份商场服装部的销售额是22万元
    B．3月份商场服装部的销售额比2月份减少了
    C．4月份商场的商品销售额是75万元
    D．5月份商场服装部的销售额比4月份减少了

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案