Question

1．如图，正方形ABCD的边长是2，E是BC的中点．
（1）则E点的坐标是（2，1），直线AE的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）点P是直线AE上一动点，是否存在点P使△OPC的面积为正方形ABOC面积的$\frac{3}{8}$？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质求得A、B、C的坐标，进而即可求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AE的解析式；
（2）求得正方形的面积，即可求得△OPC的面积，根据三角形面积公式求得P的纵坐标，然后代入直线AE的解析式即可求得坐标．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长是2，
∴A（0，2），C（2，0），B（2，2），
∵E是BC的中点，
∴E（2，1），
设直线AE的解析式为y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+2；
故答案为（2，1），y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）存在；
∵△OPC的面积为正方形ABOC面积的$\frac{3}{8}$，
∴S_△OPC=$\frac{3}{8}$×2×2=$\frac{3}{2}$，
设P的坐标为（m，n），
∴$\frac{1}{2}$×2×|n|=$\frac{3}{2}$，
∴n=±$\frac{3}{2}$，
把y=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+2，解得，x=-1，
∴m=-1，
把y=-$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+2，解得，x=7，
∴m=7，
∴P（-1，$\frac{3}{2}$）或（7，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求你一次函数的解析式、正方形的性质、三角形的面积等．注意解答中P的纵坐标有两种情况．