Question

2．已知关于x的一元二次方程（x-m）²+3x=2m-3有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer 1

分析 将原方程变形为一般式．
（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出△=-4m-3≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=2m-3、x₁•x₂=m²-2m+3，利用配方法可将x₁•x₂-x₁²-x₂²变形3x₁•x₂-（x₁+x₂）²，代入数据后可得x₁•x₂-x₁²-x₂²=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，根据二次函数的性质结合m的取值范围，即可解决最值问题．

解答 解：原方程可变形为x²-（2m-3）x+m²-2m+3=0．
（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=[-（2m-3）]²-4（m²-2m+3）=-4m-3≥0，
解得：m≤-$\frac{3}{4}$．
（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，
∴x₁+x₂=2m-3，x₁•x₂=m²-2m+3，
∴x₁•x₂-x₁²-x₂²=3x₁•x₂-（x₁+x₂）²=3（m²-2m+3）-（2m-3）²=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∵在m≤-$\frac{3}{4}$中，x₁•x₂-x₁²-x₂²的值随着m的增大而增大，
∴当m=-$\frac{3}{4}$时，x₁•x₂-x₁²-x₂²取最大值，最大值为-$\frac{45}{16}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由方程有实数根找出△=-4m-3≥0：（2）利用二次函数的性质解决最值问题．