Question

19．已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是底边BC延长线上任意一点，且DG⊥AC，DF⊥AB，BE⊥AC，求证：BE=DG-DF．

Answer 1

分析 作BM⊥DG于M，则∠BMG=∠BMD=90°，先证明四边形BMGE是矩形，得出BE=MG，BM∥AC，证出∠DBM=∠DBF，由AAS证明△DMB≌△DFB，得出DM=DF，即可得出结论．

解答 证明：作BM⊥DG于M，如图所示：
则∠BMG=∠BMD=90°，
∵DG⊥AC，DF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEG=∠MGE=∠BFD=90°，
∴四边形BMGE是矩形，
∴BE=MG，BM∥AC，
∴∠DBM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBM=∠DBF，
在△DMB和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠DBF}\\{∠DMB=∠DFB}\\{DB=DB}\end{array}\right.$，
∴△DMB≌△DFB（AAS），
∴DM=DF，
∵DM+MG=DG，
∴BE=DG-DF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．