已知一次函数y1＝2x.二次函数y2＝x2+1． (1)根据表中给出的x的值.计算对应的函数值y1.y2.并填在表格中: 问表中有关的数据.证明如下结论:在实效范围内.对于x的同一个值.这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立, (3)试问.是否存在二次函数y3＝ax2+bx+c.其图像经过点.且在实数范围内.对于x的同一个值.这三个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知一次函数y₁＝2x，二次函数y₂＝x²＋1．

(1)根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y₁、y₂，并填在表格中：

(2)观察第(1)问表中有关的数据，证明如下结论：在实效范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂均成立；

(3)试问，是否存在二次函数y₃＝ax²＋bx＋c，其图像经过点(－5，2)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)填表如下：

　　(2)∵y₁－y₂＝2x－(x²＋1)＝－x²＋2x－1＝－(x－1)²≤0，

　　∴当自变量x取任意实数时，y₁≤y₂均成立．

　　(3)由已知，二次函数y₃＝ax²＋bx＋c的图像经过点(－5，2)，得

　　25a－5b＋c＝2．　　①

　　∵当x＝1时，y₁＝y₂＝2，y₃＝a＋b＋c，

　　若对于自变量x取任意实数时，y₁≤y₃≤y₂成立，则

　　2≤a＋b＋c≤2，

　　∴a＋b＋c＝2，　　②

　　由①、②得b＝4a，c＝2－5a，

　　∴y₃＝ax²＋4ax＋(2－5a)．

　　当y₁≤y₃时，有2x≤ax²＋4ax＋(2－5a)，

　　即ax²＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0．

　　若二次函数y＝ax²＋(4a－2)x＋(2－5a)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须

　　即　　∴a＝．

　　当y₃≤y₂时，有ax²＋4ax＋(2－5a)≤x²＋1，

　　即(1－a)x²－4ax＋(5a－1)≥0．

　　若二次函数y＝(1－a)x²－4ax＋(5a－1)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须

　　即∴a＝．

　　综上：a＝，b＝4a＝，c＝2－5a＝．

　　∴存在二次函数y₃＝x²＋x＋，在实数范围内，对于x的同一个值y₁≤y₃≤y₂均成立．

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