Question

17．如图，已知AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，E为半径OB上的一点，且BE=3OE，延长CE交⊙O于点F，线段AF与DO交于点M，则$\frac{DM}{MC}$的值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 连结BC、BF，如图，设OE=a，则BE=3a，圆的半径为4a，由AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径得∠AOC=∠BOC=90°，则根据勾股定理可计算出CE=$\sqrt{17}$a，BC=4$\sqrt{2}$a，再根据圆周角定理得∠ABC=∠CFB=45°，∠BCE=∠FCB，于是可证明△CBE∽△CFB，利用相似比可计算出BF=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$a，接着利用AB为直径得∠AFB=90°，则利用勾股定理计算出AF=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$a，然后证明Rt△AOM∽Rt△AFB，利用相似比计算出OM=$\frac{12}{5}$a，则可得到DM=$\frac{8}{5}$a，CM=$\frac{32}{5}$a，最后计算$\frac{DM}{MC}$的值．

解答 解：连结BC、BF，如图，设OE=a，则BE=3a，圆的半径为4a，
∵AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在Rt△COE中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
在Rt△COB中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$a，
∵∠ABC=∠CFB=45°，
而∠BCE=∠FCB，
∴△CBE∽△CFB，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{BE}{BF}$，即$\frac{\sqrt{17}a}{4\sqrt{2}a}$=$\frac{3a}{BF}$，
∴BF=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$a，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（8a）^{2}-（\frac{12\sqrt{34}a}{17}）^{2}}$=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$a，
∵∠MAO=∠BAF，
∴Rt△AOM∽Rt△AFB，
∴$\frac{OM}{BF}$=$\frac{AO}{AF}$，即$\frac{OM}{\frac{12\sqrt{34}a}{17}}$=$\frac{4a}{\frac{20\sqrt{34}a}{17}}$，
∴OM=$\frac{12}{5}$a，
∴DM=4a-$\frac{12}{5}$a=$\frac{8}{5}$a，CM=4a+$\frac{12}{5}$a=$\frac{32}{5}$a，
∴$\frac{DM}{MC}$=$\frac{\frac{12}{5}a}{\frac{32}{5}a}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：先根据相似三角形判定方法得到相应三角形相似，然后根据相似三角形的性质计算面积的比．也考查了圆周角定理．