Question

【题目】如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2 ， 其中正确的有（ ）个．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2 ，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2 ， ④正确．
所以正确的结论有①③④．
故选C．

【考点精析】利用勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．