Question

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请作出图中三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）设（1）中所作圆的圆心为O，且AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
①求证：AP是⊙O的切线；
②当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）分别作出各边的中垂线，以三边中垂线的交点为圆心，交点到一个顶点的线段长度为半径画圆，则此圆即为△ABC的最小覆盖圆；
（2）①先根据等腰三角形的性质得出AH⊥BC，再由AP∥BC可知AH⊥AP，由此可得出结论；
②先根据垂径定理求出BH的长，根据勾股定理得出AH的长，设半径为r，在Rt△BOH中根据勾股定理即可得出结论．

解答：解：（1）如图1所示：

（2）①证明：∵AB=AC，点O是△ABC外接圆的圆心，
∴AH⊥BC，
∵AP∥BC，
∴AH⊥AP，
∵点A在⊙O上，
∴AP是⊙O的切线；
②∵AB=AC，AH⊥BC，AB=5，BC=6，
∴BH=

1

2

BC=3，AH=

AB2-BH2

=

52-32

=4，
设半径为r，在Rt△BOH中，BH²+OH²=OB²，即3²+（4-r）²=r²，解得r=

25

8

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到三角形外接圆的性质、切线的判定、平行线的性质、勾股定理等知识，难度适中．